Fliegt ein Flugzeug immer geradeaus, umrundet es irgendwann die ann?hernd kugelf?rmige Erde auf einer kreisf?rmigen Flugbahn – vorausgesetzt, es handelt sich um ein Flugzeug, dem nie der Sprit ausgeht. In R?umen mit einer komplexeren Geometrie als jener der Erde k?nnen die gedachten Bahnen eines immer geradeaus fliegenden Flugzeugs dagegen deutlich komplizierter aussehen. Wie aber lie?en sich diese sinnvoll mit Zahlen charakterisieren? Diese und weitere Fragen besch?ftigen den Mathematiker Dr. Benjamin Küster von der Universit?t Paderborn im Rahmen des DFG-Schwerpunktprogramms ?Geometry at infinity“ (SPP 2026).
In der Mathematik bezeichnet man die lokal kürzeste Verbindungskurve zweier Punkte als Geod?te. Ein immer geradeaus fliegendes Flugzeug wird so auf der Erde immer dieselbe Route fliegen, dieselben Orte sehen und alles au?erhalb der Route nie überfliegen. Ganz anders sieht es hingegen in der Geometrie der ?lokal-symmetrischen R?ume“ aus. In seinem DFG-Teilprojekt untersucht Küster zusammen mit Wissenschaftler*innen der AG ?Spektral Analysis“ R?ume, die sich wesentlich von der oben beschriebenen Situation unterscheiden: ?Die R?ume, mit denen wir uns besch?ftigen, haben im Gegensatz zur Erde keinen endlichen Durchmesser. Es gibt also Orte mit beliebig gro?er ?Luftlinienentfernung“ zueinander. Der zweite Unterschied zur Erde ist, dass ein imagin?res Flugzeug, das in den von uns betrachteten R?umen stur geradeaus fliegt, typischerweise nicht immer dieselbe Flugbahn wiederholen wird. Seine Route sieht eher chaotisch aus. Zudem k?nnen diese R?ume beliebig viele Raum- und Zeitdimensionen haben. Bei mehreren Zeitdimensionen kommt die Analogie mit den Flugbahnen an ihre Grenzen – man br?uchte dann mehrere Flugzeuge, die nicht mehr alle geradeaus fliegen, sondern nach gewissen Regeln ihre Richtung ?ndern würden.“
Geometrie und Dynamik in Zahlen
Um lokal-symmetrische R?ume zu untersuchen und zu charakterisieren, stützen sich die Wissenschaftler auf sogenannte ?Resonanzen”. Das sind Verallgemeinerungen des Konzepts der Resonanzfrequenzen. Küster: ?Im Fall einer geschlossenen Flugbahn auf der Erde ist die Situation einfach. Hier gibt es nur eine Resonanzfrequenz, und zwar das Inverse bzw. den Kehrwert der Zeit, die ein Flugzeug mit vordefinierter Geschwindigkeit braucht, um die Erde zu umrunden. Auf einer Erde mit Mondgr??e w?re diese Zeit kürzer, die Resonanzfrequenz also h?her.“ So enthalten die im Projekt betrachteten Geometrien zwar auch geschlossene Geod?ten, auf die meisten treffe dies jedoch nicht zu, weswegen sie auch keine Umrundungszeit besitzen würden. ?Dennoch lassen sich auch in diesem Fall Resonanzen definieren, die es einem erlauben, die ?Flugbahnen“ mit Hilfe von Zahlen zu charakterisieren und beispielsweise quantitativ zu beschreiben, wie ?chaotisch“ die Bahnen sind“, so der Paderborner Mathematiker.
Neue Forschungsfragen entdecken
Das Thema ?Resonanzen“ berührt mehrere Teildisziplinen der Mathematik wie Analysis, Geometrie, dynamische Systeme, Zahlentheorie und mathematische Physik. Küster: ?W?hrend es in der angewandten Mathematik und der Physik durchaus ?reale“ Resonanzfrequenzen gibt, die man etwa in einem Experiment messen und mit einem mathematischen Modell vergleichen kann, bieten die im Projekt betrachteten abstrakteren Aspekte des Forschungsgebiets innerhalb der reinen Mathematik Anwendungsm?glichkeiten beispielsweise durch neue Beweismethoden. Vor allem aber gibt es zahlreiche spannende neue Forschungsfragen und -richtungen, die es erst noch zu entdecken gilt.“
Die DFG f?rdert das Projekt am Paderborner Institut für Mathematik unter dem Titel ?Resonanzen für nicht-kompakte lokal-symmetrische R?ume“ für die n?chsten drei Jahre mit 291.500 Euro.
